Xác định m để phương trình \(6cos^2x+\left(9m-7\right).cosx-6m+2=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{2}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow\left(cosx+1\right)\left(4cos2x-m.cosx\right)=m\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow4cos2x-m.cosx=m\left(1-cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow4cos2x=m\)
\(\Rightarrow cos2x=\dfrac{m}{4}\)
Pt có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn đã cho khi và chỉ khi:
\(-1< \dfrac{m}{4}\le-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow-4< m\le-2\)
Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Đặt \(\dfrac{\pi}{3}+mx=t\Rightarrow mx=t-\dfrac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\pi}{6}-mx=\dfrac{\pi}{6}-\left(t-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}-t\)
Pt trở thành:
\(cos^2t+4cos\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=4\)
\(\Leftrightarrow1-sin^2t+4sint=4\)
\(\Leftrightarrow sin^2t-4sint+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sint=1\\sint=3>1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Rightarrow\dfrac{\pi}{3}+mx=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)
\(\Leftrightarrow mx=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right)\)
\(0< x< 1\Rightarrow0< \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\right)< 1\Rightarrow-\dfrac{1}{12}< k< \dfrac{m-\dfrac{\pi}{6}}{2\pi}\) (1)
Pt có 4 nghiệm pb trên đoạn đã cho khi có 4 giá trị k nguyên thỏa mãn (1)
\(\Rightarrow k=\left\{0;1;2;3\right\}\)
\(\Rightarrow3< \dfrac{m-\dfrac{\pi}{6}}{2\pi}\le4\)
\(\Rightarrow\dfrac{37\pi}{6}< m\le\dfrac{49\pi}{6}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
Nghiệm trên \(\left(0;\pi\right)\) hay (0;1) nhỉ?
Thực ra 2 cái này cũng ko khác gì nhau về mặt pp giải toán nhưng mà \(\left(0;\pi\right)\) thì tính toán đẹp hơn \(\left(0;1\right)\) nhiều
5 tháng 7 2021
a) Pt\(\Leftrightarrow\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2xcos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+3sinx.cosx-\dfrac{m}{4}+2=0\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{3}{4}sin^22x-\dfrac{3}{2}sin2x-\dfrac{m}{4}+2=0\)
\(\Leftrightarrow-3sin^22x-6sin2x-m+12=0\)
Đặt \(t=sin2x;t\in\left[-1;1\right]\)
Pttt: \(-3t^2-6t-m+12=0\)
\(\Leftrightarrow-3t^2-6t+12=m\) (1)
Đặt \(f\left(t\right)=-3t^2-6t+12;t\in\left[-1;1\right]\)
Vẽ BBT sẽ tìm được \(f\left(t\right)_{min}=3;f\left(t\right)_{max}=15\)\(\Leftrightarrow3\le f\left(t\right)\le15\)\(\Rightarrow m\in\left[3;15\right]\) thì pt (1) sẽ có nghiệm
mà \(m\in Z\) nên tổng m nguyên để pt có nghiệm là 13 m
Vậy có tổng 13 m nguyên
5 tháng 7 2021
b) Pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\left(1\right)\\2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\left(k\in Z\right)\)
\(x\in\left[0;2\pi\right]\Rightarrow0\le\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\le2\pi\)\(\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le k\le\dfrac{3}{4}\)\(\Rightarrow k=0\)
Tại k=0\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\)
Để pt ban đầu có 4 nghiệm pb \(\in\left[0;2\pi\right]\)
\(\Leftrightarrow\) Pt (2) có 3 nghiệm pb khác \(\dfrac{\pi}{2}\)
Xét pt (2) có: \(2cos^2x-\left(2m+1\right)cosx+m=0\)
Vì là phương trình bậc hai ẩn \(cosx\) nên pt (2) chỉ có nhiều nhất ba nghiệm \(\Leftrightarrow\) Pt (2) có một nghiệm cosx=0
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) mà \(x\ne\dfrac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow\) Pt (2) chỉ có nhiều nhất hai nghiệm
\(\Rightarrow\) Pt ban đầu không thể có 4 nghiệm phân biệt
Vậy \(m\in\varnothing\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)
\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)
Đặt \(cosx=t\in\left[-1;1\right]\)
\(\Rightarrow6t^2+\left(9m-7\right)t-6m+2=0\)
\(\Leftrightarrow6t^2-7t+2+9mt-6m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2t-1\right)\left(3t-2\right)+3m\left(3t-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3t-2\right)\left(2t+3m-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{2}{3}\\cosx=\dfrac{-3m+1}{2}\end{matrix}\right.\)
(Chà tới đây mới thấy ko cần đặt ẩn phụ, nhìn con số 9m và 6m to 1 cách vô lý đã nghi nghi có gì đó bất thường trong nghiệm :D)
Pt \(cosx=\dfrac{2}{3}\) cho 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)
Để pt có 3 nghiệm pb thì \(cosx=\dfrac{-3m+1}{2}\) cho 2 nghiệm pb thuộc khoảng đã cho
Từ đường tròn lượng giác ta dễ dàng suy ra: \(-1< \dfrac{-2m+1}{2}< 0\)
Anh ơi! Em thấy đặt ẩn phụ gọn hơn so với cosx. Theo anh không cần đặt ẩn phụ sẽ như nào vậy ạ anh!